Exercice sur les Théorèmes de Pythagore et Thalès

Exercice sur les Théorèmes de Pythagore et Thalès

Exercice Pythagore

Un bateau possède un mât vertical de 12 m de hauteur.
Un câble relie le sommet du mât au pont du bateau. La distance entre le pied du mât et le point d’attache du câble sur le pont est de 5 m.

1. Faire un schéma représentant la situation.

2. Montrer que le câble, le mât et le pont forment un triangle rectangle (on supposera que le mât est perpendiculaire au pont).

3. Calculer la longueur du câble.

4. Le câble peut résister à une tension maximale s’il mesure au plus 13 m.
   Le câble est-il adapté ?

Correction :

1. Schéma

On représente :

• Le mât vertical : 12 m

• La distance sur le pont : 5 m

• Le câble reliant le sommet du mât au pont

On obtient un triangle rectangle :

• Angle droit entre le mât et le pont

• Le câble correspond à l’hypoténuse

2. Justification du triangle rectangle

On sait que le mât est perpendiculaire au pont.
Donc l’angle entre le mât et le pont est un angle droit.

Le triangle formé est donc rectangle au pied du mât.

3. Calcul de la longueur du câble

On applique le théorème de Pythagore :

Dans un triangle rectangle :

$$\text{hypoténuse}^2 = \text{côté 1}^2 + \text{côté 2}^2$$

Ici :

• Mât = 12 m

• Distance au pont = 5 m

• Câble = x

$$x^2 = 12^2 + 5^2$$
$$x^2 = 144 + 25$$
$$x^2 = 169$$
$$x = \sqrt{169}$$ $$x = 13 \text{ m}$$

La longueur du câble est 13 m.

4. Vérification de la résistance du câble

Le câble peut mesurer au maximum 13 m.

Or le câble mesure exactement 13 m.

Le câble est donc adapté.

Exercice Thalès

Tracer une figure telle que :

• Les points A, D, B sont alignés dans cet ordre.

• Les points A, E, C sont alignés dans cet ordre.

• Les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

On donne :

• AD = 3 cm

• AB = 9 cm

• AE = 2 cm

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1) Montrer que les triangles ADE et ABC sont semblables.

2) Calculer la longueur AC.

3) Calculer la longueur DE sachant que BC = 12 cm.

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On place un point F sur [BC] tel que BF = 4 cm.

La droite passant par F et parallèle à (AC) coupe [AB] en G.

4) Calculer la longueur BG.

Correction :

1) Montrer que les triangles ADE et ABC sont semblables

On sait que :

• Les points A, D, B sont alignés.

• Les points A, E, C sont alignés.

• Les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

Donc les triangles ADE et ABC sont en configuration de Thalès.

On a alors :

$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{B\mathrm{C}}$$

Donc les triangles ADE et ABC sont semblables.

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2) Calculer la longueur AC

On applique le théorème de Thalès :

$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{A\mathrm{C}}$$

On remplace par les valeurs :

$$\frac{3}{9}=\frac{2}{AC}$$ $$\frac{1}{3}=\frac{2}{AC}$$

Produit en croix :

$$AC=2\times3$$
$$AC=6 \text{ cm}$$

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3) Calculer la longueur DE sachant que BC = 12 cm

Toujours avec Thalès :

$$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$$ $$\frac{3}{9}=\frac{DE}{12}$$ $$\frac{1}{3}=\frac{DE}{12}$$

Produit en croix :

$$DE=\frac{12}{3}$$ $$DE=4 \text{ cm}$$

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4) Calculer la longueur BG

On sait que :

• F est sur [BC]

• BF = 4 cm

• La droite passant par F est parallèle à (AC)

Donc les triangles BGF et BAC sont semblables (Thalès).

On écrit :

$$\frac{BG}{BA}=\frac{BF}{BC}$$

On remplace :

$$\frac{BG}{9}=\frac{4}{12}$$ $$\frac{BG}{9}=\frac{1}{3}$$

Produit en croix :

$$BG=9\times\frac{1}{3}$$ $$BG=3 \text{ cm}$$